基本胡邹，不要看。

坐标空间

首先明确一下坐标变换是在线性空间$V$中换一组基底来描述，应该算一种线性变换。我们该怎么表述坐标变换呢？其实单纯的说坐标变换，只是把一个张量在另外一个坐标基下表述出来，张量不变，变得是张量的分量，这样说的话，我们不需要把坐标变换当成一个$V$里的映射或变换，而是可以另外定义一个坐标空间$V_c$，把坐标变换当成坐标空间里映射，就是$T: oldc \rightarrow newc$，这里就要注意$V_c$和$V$不是同一个空间，$T$的作用对象是坐标而不是张量，那就要问了，$T$是不是张量？答案当然是肯定的，不过$T$是$V_c$里张量，而不是$V$里的张量，而$V_c$的基就是一组单位坐标。

$V$里的基底变换

那么$T$表述出来是什么样的，首先就的看看$V$里的基底变换，也就是从旧基底映射到新的基底，$C: \boldsymbol{e}_i \rightarrow \boldsymbol{e}_i’$，$C$其实就是$V$上的一个张量，而且是$(1,1)$型的，让我们用坐标写出来，$C = {C^i}_j \boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}^j$，和$\boldsymbol{e}_i$缩并，得到$\boldsymbol{e}_i’ = {C^j}_i \boldsymbol{e}_j$，${C^i}_j$可看作数字矩阵，它和$T$分量形成的矩阵是互为逆的关系。但却不能写$T=C^{-1}$，因为它们不在一个空间。